# Continuous Transformations of Manifolds by Lefschetz S.

By Lefschetz S.

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Abb. 12). Dann werden die Sinus- bzw. Kosinusfunktion auf dem Intervall [0, 2π) durch die folgenden Abbildungen deﬁniert: t −→ sin t = Ordinate y des Kreispunktes P (t), t −→ cos t = Abszisse x des Kreispunktes P (t). Durch die Deﬁnitionen sin(t + 2kπ) = sin t und cos(t + 2kπ) = cos(t) f¨ ur t ∈ [0, 2π) und k ∈ Z werden die Funktionen sin und cos periodisch auf ganz R fortgesetzt. y 1 . P(t) = (x,y) t x sin t 1 p 2p cos t Abbildung 12: Deﬁnition und graﬁsche Darstellung der Sinusfunktion t 4. 21.

Dann gilt nach dem Distributiv- und Kommutativgesetz n m j=0 n m βk = αj k=0 m n αj β k = j=0 k=0 αj β k . k=0 j=0 (3-2) 32 Kapitel 3. 2. Als Beispiel formulieren wir die arithmetische Summenformel n k= k=1 n(n + 1) , 2 n ∈ N, die man mit vollst¨ andiger Induktion nach n leicht beweisen kann. Speziell erhalten wir • n = 10: 1 + 2 + . . + 9 + 10 = • n= • n= 10·11 = 55. 2 20: 1 + 2 + . . + 19 + 20 = 20·21 = 210. 2 100·101 100: 1 + 2 + . . + 99 + 100 = = 5050. 2 Aufgaben 1. Schreiben Sie folgende Summen ohne Summenzeichennotation: 7 5 (−1)σ σ 2 , i) ii) σ=2 k=1 5 xk , k!

In diesem Fall schreiben wir a = lim an , und a heißt der Limes f¨ ur n → ∞ n→∞ der Folge (an )n . Falls (an )n nicht konvergent ist, spricht man von einer divergenten Folge. Man beachte, dass |an − a| als Abstand des Folgengliedes an zu a auf der reellen Zahlengerade interpretiert werden kann. 5 aus, dass der Abstand von an zu a beliebig klein wird, wenn nur n gen¨ ugend groß ist; ε > 0 ist dabei als beliebig kleine obere Schranke f¨ ur die Abst¨ande zu interpretieren, siehe auch Abbildung 22.