Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Zweiter by Robert Fricke

By Robert Fricke

Das Buch beginnt mit einer ausführlichen Zusammenstellung der nötigen Grundlagen aus der klassischen Algebra, der Theorie der algebraischen Funktionen und der algebraischen Zahlentheorie. Der folgende erste Abschnitt behandelt die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze sowohl für die Weierstraßschen als auch für die Jacobischen elliptischen Funktionen. Besondere Aufmerksamkeit widmet der Verfasser den speziellen Teilungsgleichungen, denen die Teilwerke der Weierstraßschen ℘-Funktion genügen.

Der zweite Abschnitt nimmt die Hälfte des Bandes in Anspruch; er ist einer detaillierten Ausarbeitung der Transformationstheorie der elliptischen Funktionen gewidmet. Hierbei handelt es sich um eine facettenreiche Theorie, die im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts im Rahmen der Herausbildung der Theorie der elliptischen Modulfunktionen durch Klein ihre hier niedergelegte shape gewonnen hat. Als Hilfsmittel für die Transformationstheorie erweist sich das Frickesche „Klassenpolygon“, das die Beziehung der elliptischen Funktionen zur Theorie der binären quadratischen Formen offen legt. Zahlreiche Beispiele erläutern die theoretischen Betrachtungen.

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Konjugierte Körper. Primitive und imprimitive Zahlen. 33. Dem Grade n dieser Gleichung entsprechend heißt der durch Adjunktion von fJ zu ~ entstehende Körper (~, fJ) ein algebraischer Körper n ten Grades in bezug auf~. Ist n = 1, so ist fJ in ~ enthalten, und die beiden Körper (sr, fJ) und ~ sind gleich, d. h. sie stellen das gleiche Zahlensystem dar, was wir durch (~, fJ) = zum Ausdruck bringen. ~, ohne durch ihn erschöpft zu werden. Enthält allgemein ein Körper ~' einen Körper ~ in sich, ohne durch ihn erschöpft zu werden, so bringen wir dies Sachverhältnis durch ~'> ~ oder ~ <~' zum Ausdruck.

Der Dinge in den einzelnen Systemen (1) sind einander gleich 6 = 6' = 6" = .. " so daß (j ein Teiler des Gruppengrades n ist. Zwei solche Einteilungen der n Dinge können wir für jede Gm angeben, nämlich die für 6 = n und für (f = 1. :.. Systeme A, A', A", ... werden als "Systeme der Impri(i mitivitätf' bezeichnet. Es liege nun eine imprimitive Gruppe Gm vor. 1'(i/,.. = t, so daß t ein von 1 und n verschiedener Teiler von n ist. Da Gm transitiv ist, so findet sich in Gm eine Permutation T, die a1 in ein beliebiges Ding des ersten Systems A überführt.

Wir haben also im ganzen n! Schreibweisen für die einzelne Permutation zur Hand. Als abgekürzte Bezeichnung für Sa benutzen wir Sa = (k, a k ). Die Permutation So = (k, k), bei der also jedes Ding durch sich selbst ersetzt wird, heißt die "identische Permutation" und wird unten als Element der zu erklärenden Gruppen auch durch 1 bezeichnet, da sie das "Einheits element" dieser Gruppen liefern wird. Die Permutation (ak , k), bei der also umgekehrt a1 durch 1, a2 durch 2 usw. ersetzt wird, heißt zur Permutation Ba "invers" und wird durch 8;;1 bezeichnet.

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